Nahá štatistika je najzaujímavejšia kniha o najnudnejšej vede

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 04:09

Kto povedal, že štatistika je nudná a zbytočná veda? Charles Wheelan presvedčivo tvrdí, že to tak ani zďaleka nie je. Dnes zverejňujeme úryvok z jeho knihy o tom, ako vyhrať auto, nie kozu, pomocou štatistík a pochopiť, že intuícia vás môže vyviesť z omylu.

Monty Hall Riddle

Záhada Monty Hall je známy problém v teórii pravdepodobnosti, ktorý zmiatol účastníkov hernej show s názvom Let’s Make a Deal, ktorá je stále populárna v niekoľkých krajinách a ktorá mala premiéru v Spojených štátoch v roku 1963. (Pamätám si vždy, keď som ako dieťa sledoval túto reláciu, keď som pre chorobu nechodil do školy.) Už v úvode knihy som upozornil, že táto hra môže byť zaujímavá aj pre štatistikov. Na konci každého jeho čísla stál účastník, ktorý sa dostal do finále, s Monty Hallom pred tri veľké dvere: Dvere č. 1, Dvere č. 2 a Dvere č. 3. Monty Hall vysvetlil finalistovi, že za jedny týchto dverí bola veľmi hodnotná cena - napríklad nové auto a za ďalšími dvoma koza. Finalista si musel vybrať jedny z dverí a dostať to, čo bolo za nimi. (Neviem, či sa medzi účastníkmi predstavenia našiel aspoň jeden človek, ktorý si chcel zaobstarať kozu, ale pre zjednodušenie budeme predpokladať, že drvivá väčšina účastníkov snívala o novom aute.)

Počiatočná pravdepodobnosť výhry sa dá pomerne ľahko určiť. Dvere sú troje, dve ukrývajú kozu a tretie auto. Keď sa účastník šou postaví pred tieto dvere s Monty Hallom, má jednu z troch možností vybrať si dvere, za ktorými sa auto nachádza. Ale, ako je uvedené vyššie, v knihe Let's Make a Deal je háčik, ktorý zvečnil tento televízny program a jeho moderátora v literatúre o teórii pravdepodobnosti. Potom, čo finalista šou ukáže na jedny z troch dverí, Monty Hall otvorí jedny z dvoch zostávajúcich dverí, za ktorými je vždy koza. Potom sa Monty Hall pýta finalistu, či chce zmeniť názor, teda opustiť predtým vybrané zatvorené dvere v prospech iných zatvorených dverí.

Povedzme pre príklad, že účastník ukázal na dvere č. 1. Potom Monty Hall otvoril dvere č. 3, za ktorými sa skrývala koza. Dve dvere, dvere č. 1 a dvere č. 2, zostanú zatvorené. Ak by bola hodnotná cena za dverami č. 1, finalista by ju vyhral a ak by bola za dverami č. 2, potom by prehral. Práve v tomto bode sa Monty Hall pýta hráča, či chce zmeniť svoju počiatočnú voľbu (v tomto prípade opustiť dvere č. 1 v prospech dverí č. 2). Samozrejme si zapamätáte, že obe dvere sú stále zatvorené. Jediná nová informácia, ktorú účastník dostal, bola, že koza skončila za jednými z dvoch dverí, ktoré si nevybral.

Mal by finalista opustiť počiatočnú voľbu v prospech dverí č. 2?

Odpovedám: áno, malo by. Ak sa bude držať pôvodnej voľby, pravdepodobnosť výhry hodnotnej ceny bude ⅓; ak si to rozmyslí a ukáže na Dvere č. 2, tak pravdepodobnosť výhry hodnotnej ceny bude ⅔. Ak mi neveríte, čítajte ďalej.

Priznám sa, že táto odpoveď nie je na prvý pohľad ani zďaleka zrejmá. Zdá sa, že bez ohľadu na to, ktoré zo zostávajúcich dvoch dverí si finalista vyberie, pravdepodobnosť získania hodnotnej ceny je v oboch prípadoch ⅓. Sú tam tri zatvorené dvere. Najprv je pravdepodobnosť, že sa za niektorým z nich skrýva hodnotná cena, ⅓. Má nejaký vplyv na rozhodnutie finalistu zmeniť svoj výber v prospech iných zatvorených dverí?

Samozrejme, keďže háčik je v tom, že Monty Hall vie, čo sa skrýva za všetkými dverami. Ak si finalista vyberie dvere č. 1 a za nimi skutočne stojí auto, Monty Hall môže otvoriť dvere č. 2 alebo dvere č. 3 a odhaliť kozu, ktorá za nimi číha.

Ak si finalista vyberie Dvere 1 a auto je za dverami 2, potom Monty Hall otvorí Dvere 3.

Ak finalista ukáže na dvere 1 a auto je za dverami 3, Monty Hall otvorí dvere 2.

Zmenou myslenia po tom, čo moderátorka otvorí jedny z dverí, získa finalista výhodu výberu dvoch dverí namiesto jedných. O správnosti tejto analýzy sa vás pokúsim presvedčiť tromi rôznymi spôsobmi.

Prvý je empirický. V roku 2008 napísal publicista New York Times John Tyerney o fenoméne Monty Hall. Potom pracovníci publikácie vyvinuli interaktívny program, ktorý vám umožní hrať túto hru a nezávisle sa rozhodnúť, či zmeníte svoj pôvodný výber alebo nie. (Program dokonca ponúka aj kozliatka a autíčka, ktoré sa objavia spoza dverí.) Program zaznamená vašu výhru v prípade, že zmeníte svoju pôvodnú voľbu a v prípade, že zostanete nepresvedčení. Zaplatil som jednej zo svojich dcér, aby túto hru hrala 100-krát, pričom som zakaždým zmenila jej pôvodnú voľbu. Zaplatil som aj jej bratovi, aby hru hral 100-krát, pričom zakaždým som zachoval pôvodné rozhodnutie. Dcéra vyhrala 72-krát; jej brat 33-krát. Každé úsilie bolo odmenené dvoma dolármi.

Dôkazy z epizód hry Let’s Make a Deal ukazujú rovnaký vzorec. Podľa Leonarda Mlodinova, autora knihy The Drunkard's Walk, tí finalisti, ktorí zmenili svoj pôvodný výber, mali asi dvakrát väčšiu šancu vyhrať ako tí, ktorí o tom neboli presvedčení.

Moje druhé vysvetlenie tohto javu je založené na intuícii. Povedzme, že pravidlá hry sa mierne zmenili. Napríklad, finalista začne výberom jedných z troch dverí: Dvere č. 1, Dvere č. 2 a Dvere č. 3, ako bolo pôvodne plánované. Pred otvorením akýchkoľvek dverí, za ktorými sa skrýva koza, sa však Monty Hall pýta: "Súhlasíte, že sa vzdáte svojej voľby výmenou za otvorenie dvoch zostávajúcich dverí?" Takže, ak ste si vybrali Dvere č. 1, môžete zmeniť názor v prospech dverí č. 2 a dverí č. 3. Ak ste najskôr ukázali na dvere č. 3, môžete vybrať dvere č. 1 a dvere č. 2. A tak ďalej.

Nebude to pre vás obzvlášť ťažké rozhodnutie: je celkom zrejmé, že by ste sa mali vzdať počiatočnej voľby v prospech dvoch zostávajúcich dverí, pretože to zvyšuje šance na výhru z ⅓ na ⅔. Najzaujímavejšie je, že práve toto vám v podstate ponúka Monty Hall v skutočnej hre po otvorení dverí, za ktorými sa skrýva koza. Zásadným faktom je, že ak by ste dostali možnosť vybrať si dvoje dverí, za jednymi by sa aj tak skrývala koza. Keď Monty Hall otvorí dvere, za ktorými je koza, a až potom sa vás opýta, či súhlasíte so zmenou svojej pôvodnej voľby, výrazne to zvyšuje vaše šance na výhru hodnotnej ceny! Monty Hall vám v podstate hovorí: „Pravdepodobnosť, že sa hodnotná cena ukryje za jedny z dvoch dverí, ktoré ste si nevybrali prvýkrát, sú ⅔, čo je stále viac ako ⅓!“

Môžete si to predstaviť takto. Povedzme, že ste ukázali na dvere č. 1. Potom vám Monty Hall dáva možnosť opustiť pôvodné rozhodnutie v prospech dverí č. 2 a dverí č. 3. Súhlasíte a máte k dispozícii dvoje dverí, čo znamená, že máte každý dôvod očakáva, že vyhrá hodnotnú cenu s pravdepodobnosťou ⅔, nie ⅓. Čo by sa stalo, keby v tejto chvíli Monty Hall otvoril Dvere 3 – jedny z „vašich“dverí – a za nimi bola koza? Otrasila by táto skutočnosť vašou dôverou vo vaše rozhodnutie? Samozrejme, že nie. Ak by sa auto skrývalo za dverami 3, Monty Hall by otvoril dvere 2! Nič by ti neukázal.

Keď sa hra hrá podľa odklepávacieho scenára, Monty Hall vám skutočne dáva na výber medzi dverami, ktoré ste určili na začiatku, a dvoma zostávajúcimi dverami, z ktorých jedným môže byť auto. Keď Monty Hall otvorí dvere, za ktorými sa skrýva koza, jednoducho vám robí láskavosť tým, že vám ukáže, ktoré zo zvyšných dvoch dverí nie je auto. Máte rovnaké šance na výhru v oboch nasledujúcich scenároch.

1. Výber dverí č. 1 a súhlas s „prepnutím“na dvere č. 2 a dvere č. 3 ešte pred otvorením akýchkoľvek dverí.
2. Výber dverí č. 1 a súhlas s „prepnutím“na dvere č. 2, keď vám Monty Hall ukáže kozu za dverami č. 3 (alebo výber dverí č. 3 po tom, čo vám Monty Hall ukáže kozu za dverami č. 2).

V oboch prípadoch vám upustenie od pôvodného rozhodnutia dáva výhodu dvoch dverí oproti jedným a môžete tak zdvojnásobiť svoje šance na výhru z ⅓ na ⅔.

Moja tretia možnosť je radikálnejšia verzia tej istej základnej intuície. Povedzme, že Monty Hall vás požiada, aby ste si vybrali jedny zo 100 dverí (namiesto jedných z troch). Keď to urobíte, povedzte, že ukážete na dvere č. 47, otvorí zvyšných 98 dverí, ktoré odhalia kozy. Teraz ostávajú zatvorené len dve dvere: vaše dvere č. 47 a ďalšie, napríklad dvere č. 61. Mali by ste sa vzdať svojej pôvodnej voľby?

Samozrejme áno! Je 99-percentná šanca, že auto je za dverami, ktoré ste si pôvodne nevybrali. Monty Hall vám urobil zdvorilosť otvorením 98 týchto dverí, za nimi nebolo žiadne auto. Existuje teda iba šanca 1 ku 100, že vaša počiatočná voľba (dvere č. 47) bude správna. Zároveň existuje šanca 99 zo 100, že vaša počiatočná voľba bola nesprávna. Ak áno, potom sa auto nachádza za zvyšnými dverami, teda dverami č. 61. Ak chcete hrať s pravdepodobnosťou výhry 99-krát zo 100, potom by ste mali „prepnúť“na dvere č. 61.

Skrátka, ak niekedy budete musieť hrať Let’s Make a Deal, určite budete musieť ustúpiť od svojho pôvodného rozhodnutia, keď vám Monty Hall (alebo kto ho nahradí) dá na výber. Univerzálnejší záver z tohto príkladu je, že vaše intuitívne dohady o pravdepodobnosti určitých udalostí vás môžu niekedy zavádzať.