Problém o králikoch stredovekého matematika Leonarda Fibonacciho

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 04:09

Vypočítajte, aké potomstvo dá pár zvierat do začiatku budúceho roka.

Leonardo Fibonacci bol vynikajúci stredoveký matematik. Verí sa, že to bol on, kto uviedol do používania arabské číslice. V knihe The Book of the Abacus, diele, ktoré vysvetľuje a podporuje desiatkovú aritmetiku, Fibonacci uvádza svoj slávny problém o králikoch. Skúste to vyriešiť.

Začiatkom januára umiestnili pár novonarodených králikov (samec a samica) do ohrady, oplotenej zo všetkých strán. Koľko párov králikov vyprodukujú začiatkom budúceho roka? Je potrebné vziať do úvahy nasledujúce podmienky:

• Králiky dosahujú pohlavnú dospelosť dva mesiace po narodení, teda začiatkom tretieho mesiaca života.
• Na začiatku každého mesiaca sa každému sexuálne zrelému páru narodí len jeden pár.
• Zvieratá sa rodia vždy v pároch „jedna samica + jeden samec“.
• Králiky sú nesmrteľné, dravce ich nemôžu jesť.

Pozrime sa, ako počet králikov rastie v prvých šiestich mesiacoch:

1. mesiac Jeden pár mladých králikov.

2. mesiac Existuje ešte jeden pôvodný pár. Králiky ešte nedosiahli plodný vek.

3. mesiac Dva páry: pôvodný v plodnom veku + pár mladých králikov, ktoré porodila.

4. mesiac Tri páry: jeden pôvodný pár + jeden pár králikov, ktorých porodila začiatkom mesiaca + jeden pár králikov, ktorí sa narodili v treťom mesiaci, ale ešte nedosiahli pubertu.

5. mesiac Päť párov: jeden pôvodný pár + jeden pár, ktorý sa narodil v treťom mesiaci a dosiahol plodný vek + dva nové páry, ktoré porodili + jeden pár, ktorý sa narodil v štvrtom mesiaci, ale ešte nedosiahol zrelosť.

6. mesiac Osem párov: päť párov z minulého mesiaca + tri novonarodené páry. Atď.

Aby to bolo prehľadnejšie, zapíšme si prijaté údaje do tabuľky:

Ak pozorne preskúmate tabuľku, môžete identifikovať nasledujúci vzor. Zakaždým, keď sa počet králikov prítomných v n-tom mesiaci rovná počtu králikov v (n - 1) predchádzajúcom mesiaci, sčítanému s počtom novonarodených králikov. Ich počet sa zasa rovná celkovému počtu zvierat k (n - 2) mesiacom (čo bolo pred dvoma mesiacmi). Odtiaľ môžete odvodiť vzorec:

F = F_n-1+ F_n-2, kde F - celkový počet párov králikov v n-tom mesiaci, F_n-1 je celkový počet párov králikov v predchádzajúcom mesiaci a F_n-2 - celkový počet párov králikov spred dvoch mesiacov.

Spočítajme pomocou nej počet zvierat v nasledujúcich mesiacoch:

7. mesiac 8 + 5 = 13.

8. mesiac. 13 + 8 = 21.

9. mesiac. 21 + 13 = 34.

10. mesiac. 34 +21 = 55.

11. mesiac. 55 + 34 = 89.

12. mesiac. 89 + 55 = 144.

13. mesiac (začiatok budúceho roka). 144 + 89 = 233.

Začiatkom 13. mesiaca, teda koncom roka, budeme mať 233 párov králikov. Z toho bude 144 dospelých a 89 mladých. Výsledná postupnosť 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 sa nazýva Fibonacciho čísla. V ňom sa každé nové konečné číslo rovná súčtu dvoch predchádzajúcich.

Zobraziť odpoveď Skryť odpoveď